Приходи с интересными идеями и находками
Список форумов 2-й Храм-на Скале

2-й Храм-на Скале"Aml Pages"- редактора

Обо всём на свете, кроме того, к чему не прикасаемся
 
 FAQFAQ   ПоискПоиск   ПользователиПользователи   ГруппыГруппы   РегистрацияРегистрация 
 ПрофильПрофиль   Войти и проверить личные сообщенияВойти и проверить личные сообщения   ВходВход 

Открытый портал интересного и требующего осмысления. Приглашаю посмотреть и поучаствовать. В любой теме
Система быстрого счета Якова Трахтенберга.

 
Начать новую тему   Ответить на тему    Список форумов 2-й Храм-на Скале"Aml Pages"- редактора -> Математика-Физика
Предыдущая тема :: Следующая тема  
Автор Сообщение
Jurgen
ArhiTektor

   

Зарегистрирован: 22.11.2008
Сообщения: 18227

СообщениеДобавлено: Пт Апр 21, 2017 5:30 pm    Заголовок сообщения: Система быстрого счета Якова Трахтенберга. Ответить с цитатой

Система быстрого счета Якова Трахтенберга.

URL


Трудно поверить, что одна из самых оригинальных и остроумных математических систем, известная под названием «система Трахтенберга»,
создана автором в концентрационном лагере…





МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА, СОЗДАННАЯ В ОСВЕНЦИМЕ




Яаков Трахтенберг родился 17 июня 1888 года в Одессе (Украина).

Завершив среднее образование, он отправился в Санкт-Петербург и поступил в Горный институт.
Окончив его с отличием, работал на судостроительном заводе.

Сначала — «рядовым», а потом — главным инженером.


Когда Россию захлестнула волна погромов, Трахтенберг уехал в Германию и поселился в Берлине.

Во время Первой мировой войны он считался одним из самых выдающихся экспертов по делам России.

В этот период он создал уникальный метод изучения иностранных языков,
который с успехом применяется и сегодня.


Во время Второй мировой войны Яакова Трахтенберга
вместе с другими евреями погрузили в товарные вагоны,
в которых раньше возили скот.
Так он попал в концентрационный лагерь «Освенцим».

…Люди исчезали ежедневно.
Все новые и новые жертвы, по случайному выбору, направлялись в печи крематориев.

Кругом — смерть и страдания.

Кормили узников плохо — еды хватало лишь на то, чтобы в их телах хоть как-то теплилась жизнь.

Чтобы не сойти с ума, Трахтенберг погрузился в собственный мир, где царили порядок и логики.

его тело истощалось с каждым днем, но разум отказывался принять окончательное поражение
и устремлялся в мир беспристрастных, жизнеутверждающих чисел, которые по его воле складывались в удивительные по своей красоте математические построения.

Ни книг, ни бумаги, ни карандаша у него не было.

Но мысль работала четко и ясно.
Расчеты он производил в уме и верил, что математика развивает точность мышления.

В лучшие времена, «играя» числами, Яаков развлекался в нечастые периоды отдыха.

Теперь, в лагере, цифры стали для него верными, испытанными друзьями.

Его ум, выстраивая и передвигая их, находил самые разные способы манипулирования числами.

Сначала он просто занимался сложением многозначных величин.
Но как запомнить тысячи чисел?

Задача оказалась нелегкой, и Трахтенберг придумал элементарный в обращении;
понятный каждому метод, который позволяет любому, даже ребенку, безошибочно производить простое арифметическое действие,

оперируя цифрами, каждая из которых могла бы занять в карманном блокноте целую строку.

Четыре нескончаемых года, проведенных в аду концентрационного лагеря, Яаков каждую свободную минуту тратил на то, чтобы вернуться к придуманной им математической системе.

Он разрабатывал упрощенные методы осуществления математических действий.

Когда арифметика начала казаться ему слишком уж «простой», он перешел к алгебре.

Каждый день и для него мог оказаться последним.
Но страха он не испытывал.

Разрабатывая и совершенствуя созданную им систему, Яаков забывал о своей «физической оболочке»
— не ощущал ни голода, ни зловония, не слышал криков, которые доносились из камеры пыток.

Нечеловеческая реальность концентрационного лагеря как будто бы совсем ничего не значила для него.

Единственно реальными стали упорядоченные вереницы чисел.

Наступил момент, когда ему понадобились подручные материалы.

Яаков подбирал куски оберточной бумаги и мятые, использованные конверты.

Порой его поиски увенчивались настоящей удачей — он находил выброшенные в мусор администрацией лагеря бумажные листы с текстами устаревших приказов и совершенно чистой обратной стороной.

Кто-то из заключенных сделал ему поистине царский подарок — отдал огрызок чернильного карандаша.

Конечно же, не без труда добытые приобретения были истинной драгоценностью и требовали использования в режиме жесткой экономии.

Поэтому разработки теорий Трахтенберг по-прежнему хранил в голове, а на бумагу записывал только завершенные,
сложившиеся варианты.


Сегодня, те, кто применяет метод Трахтенберга на практике, считают его очень удобным и легким.

Действительно, придуманные узником лагеря приемы позволяют производить промежуточные вычисления в уме, записывая на листе лишь окончательные результаты.

…В один из апрельских дней 1944-го Яаков случайно узнал, что его ждет смертная казнь.

Но в лагере, на его счастье, царила полная неразбериха.
И вместо этого, его внезапно перевели в другой лагерь, в Лейпциге.

Той же весной Лейпциг нещадно бомбили. В городе началась паника и хаос.
Жители Лейпцига остались без еды и отопления.

Трахтенберг оказался в мрачном, тесном бараке Лейпцигского концлагеря.

В тот же барак то и дело приводили все новых и новых узников.

И вскоре народу в нем стало так много, что не было никаких шансов отыскать такое местечко, где можно было бы прилечь.

Это право оставалось лишь за умершими, тела которых разлагались здесь же, в бараке,
в течение многих дней.

Заключенные были слишком слабы, чтобы рыть могилы, охранники — настолько охвачены паникой, что не настаивали на выполнении собственных приказов.

В одну из черных, глухих ночей Яаков решился на побег.


Прополз под ограждениями из колючей проволоки и выбрался на свободу.

Но куда бежать? Никаких документов у него, разумеется, не было.
Первая же случайная проверка и снова — арест.

Так и вышло…
Однако побег из Лейпцигского лагеря все же принес ему некую пользу.

По счастливому стечению обстоятельств, офицер, которому предстояло теперь решить его судьбу,
знал, как выяснилось, о деятельности Трахтенберга.

«Войдя в положение», он отправил Яакова в трудовой лагерь в Триесте.

И это было заметным улучшением жизненных условий.
Его определили на работу в каменоломню. Труд — не из легких.

Но погода к тому времени установилась теплая и солнечная, да и охранники здесь не мучили узников.

И все же мысль о побеге прочно засела в голове Трахтенберга.

Вторичный побег оказался удачным.
Он благополучно пересек немецкую границу и попал в Швейцарию, где его поместили в лагерь для беженцев.


Постепенно силы возвращались к нему.
Прошло еще какое-то время, и о том, что он пережил страшные годы неопределенности и отчаяния, внешне напоминала разве что «беспросветная» седина.

Придя в себя, он усовершенствовал свою математическую систему, которая помогла ему пережить годы в аду, а теперь
— готовила его к новой жизни.

В 1950 году, Трахтенберг основал в Цюрихе (Швейцария) институт математики,
где он обучал своему уникальному математическому методу.



День проходил в занятиях с детьми
— от семи до восемнадцати лет, вечерами на его уроки собирались взрослые.



Математическая система Яакова Трахтенберга описана в изданной в США книге для детей «Мгновенная математика».

Ее автор — журналистка, корреспондент Ассошиэйтед Пресс, Анна Кутлер.



В самом начале 50-х Кутлер по заданию агентства прилетела в Швейцарию.
В Цюрихе проходила международная конференция, о которой ей предстояло написать.

— В жизни нередко важные открытия делаются случайно, — рассказывает она о своем знакомстве с Яаковом Трахтенберге.

— Если бы мне не попался «нужный» таксист, который вез меня в аэропорт,
я, быть может, никогда не узнала бы о существовании этой уникальной математической системы.

Но оказалось, что внук этого таксиста учится в школе Трахтенберга, и успехи внука произвели на него такое впечатление,
что он, этот таксист, узнав, что я — журналист, несмотря на мои протесты
(я боялась опоздать на свой рейс), вознамерился непременно нас познакомить.

И настоял на своем.
Самолет улетел без меня. Но это меня ничуть не расстроило.

Удивительная встреча с гением стоила гораздо большего.

Помнится, я была просто потрясена, когда он продемонстрировал, как его ученики нежного возраста производят сложнейшие расчеты, с которыми в состоянии справиться не каждый взрослый,
даже с помощью калькулятора…

В Соединенные Штаты мисс Кутлер вернулась страстной поклонницей теорий Трахтенберга
и результатов их использования на практике.

Издание книги для детей стало лишь началом ее популяризаторской деятельности.

Она обратилась к известному профессору математики Рудольфу МакШэйну

и рассказала ему о работе Яакова Трахтенберга. Шэйн «загорелся», высоко оценив остроумные математические решения коллеги.





Вскоре на основе изысканий Трахтенберга профессор Рудольф МакШэйн и журналист Анна Кутлер вместе составили учебник,

предназначенный для учителей и учеников старших классов,
а также студентов колледжей.


Эта книга вышла в свет под названием «Быстрая система элементарной математики Трахтенберга».


Тем временем в Цюрихе Яаков,
чтобы доказать, что систему может освоить каждый, начал заниматься с больным десятилетним ребенком
.

Его «умственную отсталость» зафиксировали врачи.
В ходе этой работы выяснилось, что система имеет весьма неожиданные «побочные» свойства.


Мальчик не только научился быстро производить сложнейшие вычисления, но и значительно повысил свой коэффициент умственного развития.

Оказалось, что процессы, которые происходят в мозге человека, когда он делает расчеты в уме
(это — один из неотъемлемых элементов системы Трахтенберга) заметно улучшают память и способность концентрироваться.




Сегодня многие медики пропагандируют систему Трахтенберга, рекомендуя пожилым пациентам
тренировать ум и память, чтобы предотвратить нежелательные эффекты, которые возникают обычно в процессе старения.




Швейцария, известная своей деловой хваткой, давно признала уникальность и совершенство системы Трахтенберга.




Его разработки широко используются в деятельности банков, больших компаний и налоговых управлений.

Яаков Трахтенберг умер в 1953 году.

Арнольд Файн


Последний раз редактировалось: Jurgen (Вс Апр 23, 2017 7:30 am), всего редактировалось 3 раз(а)
Вернуться к началу
Посмотреть профиль Отправить личное сообщение
Jurgen
ArhiTektor

   

Зарегистрирован: 22.11.2008
Сообщения: 18227

СообщениеДобавлено: Пт Апр 21, 2017 7:05 pm    Заголовок сообщения: Ответить с цитатой



DJVU
Katler_Enn_Sistema_bystrogo_scheta_po_Trahtenbergu_Readli.Net_bid243266_original_f1a17.djvu

https://cloud.mail.ru/public/oK4Q/rp3K6H6WQ

Слайд PPS
sistema_bystrogo_scheta_po_trahtanbergu.pptx

https://cloud.mail.ru/public/G5vB/iLQ3qaPdF

Вернуться к началу
Посмотреть профиль Отправить личное сообщение
Jurgen
ArhiTektor

   

Зарегистрирован: 22.11.2008
Сообщения: 18227

СообщениеДобавлено: Пт Апр 21, 2017 7:16 pm    Заголовок сообщения: Материалы по скоростному счету Ответить с цитатой



Материалы по скоростному счету
https://alterozoom.com/documents/6649.html

**
URL: https://alterozoom.com/documents/6649.html

Развиваем навыки скоростного устного счета
14:47 11.03.2011 | Автор: Александр

Из педагогического блога "Обо всем по немногу" на педагогическом портале Педсовет.org Новая система онлайн тестирования для учащихся и всех желающих испытать свои знания на образовательном проекте "ЭФФОР - эффективное обучение и развитие" (http://effor.ru) По формированию навыков скоростного устного счета, разработан ряд курсов: Основы скоростного устного счета Скоростной счет с натуральными числами Скоростной счет с десятичными числами Скоростной счет с обыкновенными дробями К каждому из курсов прилагаются небольшие методические рекомендации. Теперь о самом главном: вышеупомянутая система тестирования (Эффор.ru) имеет ряд важных и нужных функций. Во первых, она сохраняет результаты работы с каждым курсом, показывает % выполнения заданий, время потраченное на курс и время последнего его прохождения. Визуально каждый курс раскрашивается в разные цвета (красный, оранжевый, синий, зеленый) в зависимости от успешности его выполнения. Кроме этого, система может давать ученику подсказки или правильные ответы, в зависимости от вида курса. Причем использование подсказок учитывается в итоговом результате. Там же на портале система тестов по развитию интеллектуальных возможностей и др. Система курсов бесплатна для всех пользователей, и позиционируется как бесплатная система со свободным доступом ко всем образовательным материалам






Метод Трахтенберга



Система Трахтенберга — система эффективного счёта, основанная на оригинальных цифровых правилах раздельного получения цифр единиц E и десятков D для таблицы умноженияоднозначных чисел. Есть несколько цифровых алгоритмов для умножения на 11, 12, 13.

В системе описан экономный способ записи расчётов при умножении многозначных чисел на однозначные множители. Есть предложения по оптимизации выполнения других арифметических действий: сложения, деления.

Разработана математиком Яковом Трахтенбергом.

Содержание [убрать]

1 История создания системы Трахтенберга
2 Общее умножение
3 Общее деление
4 Что дают цифровые правила
5 Цифровые правила Трахтенберга для умножения
6 Другие алгоритмы умножения
7 Умножение на 12
8 Умножение на 11
9 Литература
10 Программы
История создания системы Трахтенберга[править исходный текст]

Представляет интерес предистория создания Яковом Трахтенбергом системы быстрого счёта- совокупности методов быстрых и рациональных вычислений. Он родился в Одессе в 1888 г., получил образование инженера, окончив с отличием Петербургский горный институт. Работал главным инженером Обуховского судостроительного завода. Убеждённый пацифист, Трахтенберг отдавал много сил пропаганде своих взглядов и в России, и в Германии, куда он переселился в 1919 г., а затем в Австрии, бежав туда после прихода к власти Гитлера.

Я. Трахтенбергу принадлежит собственный метод преподавания иностранных языков, нашедший признание и широкое распространение в Германии.

После аншлюса Трахтенберга был арестован фашистами и семь лет провёл в концентрационных лагерях. Жена помога ему совершить побег из лагеря, он бежал в Югославию. Гестаповцы настигли его и там, опять бросили в концлагерь. В страшных нечеловеческих условиях Трахтенберг направил душевные силы на сохранение здорового духа и психики. Все свободное время он посвятил арифметике, её замкнутому миру чисел. Система быстрого счета - результат размышлений за эти страшные годы.

В 1944 г. жене стало известно о его предстоящей казни, она сумела еще раз спасти Якова. Сначала добилась перевода мужа в Лейпциг. Здесь снова организовала побег. Яков вскоре снова был арестован и отправлен на тяжёлые работы в каменоломню в Триест. Последний побег оказался удачным, супруги Трахтенберг приехали в Швейцарию.

После войны Трахтенберг организовал в Цюрихе свой математический центр - единственное в своем роде учебное заведение. Проводились курсы, где дети и взрослые учились и переучивались считать по его методу. Методы Трахтенберга пользовались единодушным признанием публики.

Общее умножение[править исходный текст]

В системе Трахтенберга применяется общеизвестный метод поразрядного умножения, где в вычислениях многократно используется таблица умножения однозначных чисел AxB=[D;E]. В обсуждаемой системе устных вычислений главные усилия направлены на оптимизацию действий вычислителя за счёт удачного расположения исходных данных и результатов на бумаге и использования, где это возможно, цифровых правил непосредственного указания цифр единиц E и цифр десятков D произведения AxB.

Значительная часть примеров, описываемых Трахтербергом, относится к случаю умножения многозначного числа на однозначный множитель, который иногда заменяется на число до 13. Предлагаемые алгоритмы относятся к такому варианту устного счёта, в процессе которого можно записывать отдельные полученные цифры ответа и забывать о них. Внимание вычислителя сосредоточено на действиях по вычислению нового разряда.

У Трахтенберга есть алгоритмы, в которых число результата получено вычислениями "справа налево", что противоречит общей тенденции в технологии устного счёта. Вычислители стараются получать числовые разряды ответа "слева направо", так как первый шаг вычислений в уме - приблизительно определить величину результата.

Отметим, что в 40-50-е года не существовало электронных калькуляторов, механические арифмометры из-за громоздкости нельзя было носить собой. Любые полезные рекомендации по решению небольших практических задач пользовались успехом у публики.

Общее деление[править исходный текст]

Основано на методе умножения

Что дают цифровые правила[править исходный текст]

Цифровые правила для таблицы умножения AxB=[D;E] - это алгоритмы прямого указания цифр произведения - десятков D или единиц E - по известным величинам однозначных множителей A и B. Получаем две функции - функцию десятков D(A;B) и функцию единиц E(A;B). Если цифровое правило просто и легко выполнить (что бывает не всегда), то его использование экономит усилия.

Чтобы привлечь внимание к системе цифровых правил, Я. Трахтенберг парадоксально заявлял о том, что не надо учить таблицу умножения, а нужно учить цифровые правила.

Почему цифровые правила полезны для таблицы умножения? При умножении многозначных множителей приходится много раз поразрядно перемножать AxB. Однако в традиционной системе устного счёта (аудиомоторный счёт) предлагается запоминать произведение в виде фразы "пять пять - двадцать пять" и пр., где одновременно присутствуют и десятки, и единицы ответа.

Общий алгоритм ("алгоритм Евклида") показывает универсальный способ умножения. Для двузначных множителей [M;A]x[N;B], где M, N - десятки; A, B - единицы:

[M;A]x[N;B] = [ (MxN); (MxB + NxA); (AxB) ].

В общем алгоритме умножения многозначных чисел последняя цифра полностью определена произведением последних цифр сомножителей, записанных в разряде единиц. Здесь полезны цифровые правила единиц E(A;B), не требующие упоминания о величине десятков.

Для получения цифры десятков D = (MxB + NxA) нужно использовать кроме цифр единиц A, B еще и цифры десятков M, N. В традиционной технологии счёта здесь возникает лишняя работа. Способ запоминания таблицы умножения в виде фразы заставляет выполнять лишние действия с не нужными в данный момент разрядами: умножаем MxB=[D1;E1], отбрасываем десятки. Умножаем NxA=[D2;E2], отбрасываем десятки. Складываем единицы E1+E2, записываем единицы этой суммы в раряд десятков D произведения. Напротив, используя цифровые правила, можно достичь экономии, и сразу же получить E1(M;B)+E2(N;A).

Общеизвестны слеующие цифровые правила.

Умножение на десять: Ax10=[A;0] - приписать нуль справа к множителю A. Тогда A - десятки, 0 - единицы произведения.

Умножение на 5: Ax5=[ (A/2); 0] - умножить число на 10 и разделить пополам. Если A - нечётно, десятки равны целой части от деления A/2 пополам, единицы равны 5.

Умножение на 9. Формула для разрядов 9xA=[(A-1); (10-A)], десятки на единицу меньше множителя, единицы равны дополнению множителя.

Умножение на 8 способом перехода к дополнению. Обозначим звездочкой дополнение числа A до полного десятка A* = 10 - A. Тогда

8xA = [(A – 8*); (A* x 8*)] = [(A – 2); (A* x 2)].

Если множители A и B более 5, находим их дополнения A* и B*, величина которых менее 5. Затем раздельно подсчитываем десятки D и единицы E результата.

Проверка даёт правильные результаты для всех множителей.

Пусть A – чётное.

8x2 = [(2–2); (2*x2)] = 0 + 8x2 = 16

8x4 = [(4–2); (4*x2)] = 20 + 6x2 = 20 + 12 = 32

8x6 = [(6–2); (6*x2)] = 40 + 4x2 = 40 + 8 = 48

8x8 = [(8–2); (8*x2)] = 60 + 2x2 = 60 + 4 = 64

Пусть A – нечётное.

8x3 = [(3–2); (3*x2)] = 10 + 7x2 = 10 + 14 = 24

8x5 = [(5–2); (5*x2)] = 30 + 5x2 = 30 + 10 = 40

8x7 = [(7–2); (7*x2)] = 50 + 3x2 = 50 + 6 = 56

8x9 = [(9–2); (9*x2)] = 70 + 1x2 = 70 + 2 = 72.

Эти цифровые правила эффективны для множителей более 5. Не стоит применять в устном счёте эти цифровые правила к множителям менее 5.

Цифровые правила Трахтенберга для умножения[править исходный текст]

Названные выше известные цифровые правила умножения на 10, на 9, на 8, на 5 Трахтенберг использовал в своей системе эффективных вычислений.

Произведения (6xA) и (7xA) Трахтенберг предлагает вычислять в уме через известное, заученное заранее, значение (5xA).

Правило умножения на 6. Формула 6xA=(5xA) + A.

Проверка.

Пусть A – чётное, 6xA = [(A/2); A].

6x2 = [(2/2); 2] = 10 + 2 = 12

6x4 = [(4/2); 4] = 20 + 4 = 24

6x6 = [(6/2); 6] = 30 + 6 = 36

6x8 = [(8/2); 8] = 40 + 8 = 48.

Пусть A – нечётное, 6xA = [(A/2); (A + 5)]. У числа, деленного пополам, отбрасывается дробная часть.

6x3 = [(3/2); (3 + 5)] = 10 + 8 = 18

6x5 = [(5/2); (5 + 5)] = 20 + 10 = 30

6x7 = [(7/2); (7 + 5)] = 30 + 12 = 42

6x9 = [(9/2); (9 + 5)] = 40 + 14 = 54


Правило умножения на 7. Формула 7xA=(5xA) + 2xA.

Проверка.

Пусть A – чётное, 7xA = [(A/2); (2A)].

7x2 = [(2/2); (2x2)] = 10 + 4 = 14

7x4 = [(4/2); (4x2)] = 20 + 8 = 28

7x6 = [(6/2); (6x2)] = 30 + 12 = 42

7x8 = [(8/2); (8x2)] = 40 + 16 = 56.

Пусть A – нечётное, 6xA = [(A/2); (2A + 5)]. У числа, деленного пополам, отбрасывается дробная часть.

7x3 = [(3/2); (2x3+5)] = 10 + 11 = 21

7x5 = [(5/2); (2x5+5)] = 20 + 15 = 35

7x7 = [(7/2); (2x7+5)] = 30 + 19 = 49

7x9 = [(9/2); (2x9+5)] = 40 + 23 = 63.

Заметим, что цифровые правила Трахтенберга для умножения 7 на нечётный множитель менее эффективны для устного счёта из-за большого числа микродействий.


Правило умножения на 4.

Правила Трахтенберга умножения 4xA для чётного A удобны и просты.

Пусть A – чётное. Формула 4xA = 10x(A/2-1) + A*.

Цифровая разрядная запись 4xA = [(A/2 - 1); A*].

Проверка.

4x2 = [(2/2 - 1); 2*] = 0 + 8 = 8

4x4 = [(4/2 - 1); 4*] = 10 + 6 = 16

4x6 = [(6/2 - 1); 6*] = 20 + 4 = 24

4x8 = [(8/2 - 1); 8*] = 30 + 2 = 32.

Примеры умножения на 4xA для нечётного A по правилам Трахтенберга оказываются сложнее.

Пусть A – нечётное. Формула 4xA = 10x(A/2-1) + (A* + 5).

Цифровая разрядная запись 4xA = [(A/2 - 1); (A* + 5)].

Проверка.

4x3 = [(3/2 - 1); (3* + 5)] = 0 + (7 + 5) = 0 + 12 = 12

4x5 = [(5/2 - 1); (5* + 5)] = 10 + (5 + 5) = 10 + 10 = 20

4x7 = [(7/2 - 1); (7* + 5)] = 20 + (3 + 5) = 20 + 8 = 28

4x9 = [(9/2 - 1); (9* + 5)] = 30 + (1 + 5) = 30 + 6 = 36.


Правило умножения на 3. При поиске и реализации правила умножения на 3 у Трахтенберга возникли трудности (как сейчас ясно, непреодолимые в рамках "линейной" математической теории и "линеных" представлений). Чтобы не оставлять таблицу умножения без правила умножения на 3, Я.Трахтенберг использовал в качестве базового исходного числа удвоение, которое в его системе рассматривается как исходная величина, заученная заранее. Получились следующие алгоритмы.

Пусть А - чётное. Цифровая разрядная запись 3xA = [(A/2 - 2); (A*x2)].

Проверка.

3x2 = [(2/2 - 2); (2* x 2)] = [(1 - 2); (8 x 2)] = -10 + 16 = 6

3x4 = [(4/2 - 2); (4* x 2)] = [(2 - 2); (6 x 2)] = 0 + 12 = 12

3x6 = [(6/2 - 2); (6* x 2)] = [(3 - 2); (4 x 2)] = 10 + 8 = 18

3x8 = [(8/2 - 2); (8* x 2)] = [(4 - 2); (2 x 2)] = 20 + 4 = 24.

Пусть А - нечётное. Цифровая разрядная запись 3xA = [(A/2 - 2); (A*x2 + 5)].

Проверка.

3x3 = [(3/2 - 2); (3* x 2 + 5)] = [(1 - 2); (7x2 + 5)] = -10 + (14 + 5) = 9

3x5 = [(5/2 - 2); (5* x 2 + 5)] = [(2 - 2); (5x2 + 5)] = 0 + (10 + 5) = 12

3x7 = [(7/2 - 2); (7* x 2 + 5)] = [(3 - 2); (3x2 + 5)] = 10 + (6 + 5) = 21

3x9 = [(9/2 - 2); (9* x 2 + 5)] = [(4 - 2); (1x2 + 5)] = 20 + (2 + 5) = 27.

Все вычисления по этим цифровым правилам умножения на 3 не эффективны. Проще и быстрее запоминать и применять фразы о результатах примеров третьего листа умножения.

Заметим, что эффективные цифровые правила единиц для умножения имеются в наглядной арифметике, где применяются не только поразрядные аналитические формулы, но и геометрические преобразования на телефонной Т-матрице. В наглядной арифметикепредлагается полная универсальная система цифровых правил (не только умножения, но и других арифметических действий).

В отличие от системы Трахтенберга, в геометрической интерпретации правило умножения 3xA выполняется как поворот на Т-матрице радиального луча множителя A на прямой угол по часовой стрелке. После поворота радиальный луч показывает цифру единиц произведения [3xA]=[D;E], где цифра единиц

E ( 3 x A ) = R ( A ).

Функция R является поворотом радиального луча любой цифры A на Т-матрице по часовой стрелке на прямой угол, значением функции R является однозначное число. По определению, R(5)=5, R(0)=0.

Другие алгоритмы умножения[править исходный текст]

Умножение на 12[править исходный текст]

Правило: чтобы умножить на 12:
Начни с правостоящей цифры, удвой каждую цифру и прибавь её соседа. (Под соседомподразумевается цифра справа.)

Это даёт одну цифру результата. Если ответ содержит больше одной цифры, просто переносим 1 или 2 в следующий регистр.
Пример: 316 ? 12 = 3 792:
В этом примере:

последняя цифра 6 не имеет соседей.
6 — сосед единице — 1.
единица — 1 соседка тройке — 3.
тройка — 3 соседка двум добавленным слева нулям.
второй добавленный ноль сосед первому.
6 ? 2 = 12 (2 переносим 1)
1 ? 2 + 6 + 1 = 9
3 ? 2 + 1 = 7
0 ? 2 + 3 = 3
0 ? 2 + 0 = 0

Умножение на 11[править исходный текст]

Правило: Добавь цифру к её соседу. (Под соседом подразумевается цифра справа.)

Пример: 3,425 ? 11 = 37,675

0,3425 ? 11 = (0+3), (3+4)(4+2)(2+5)(5+0) = 3,7675

Доказательство:

11 = 10+1

Таким образом,

3425 x 11 = 3425 x(10+1) = 34250 + 3425 = 37675.

Литература[править исходный текст]

Trachtenberg, J. (1960). The Trachtenberg Speed System of Basic Mathematics. Doubleday and Company, Inc., Garden City, NY, USA.
Катлер Э., Мак-Шейн Р.Система быстрого счёта по Трахтенбергу, 1967.
Rushan Ziatdinov, Sajid Musa. Rapid mental computation system as a tool for algorithmic thinking of elementary school students development. European Researcher 25(7): 1105—1110, 2012 [1].
Программы[править исходный текст]

iOS (iPhone, iPad)

Научись умножать без таблицы [2]
Android

Научись умножать без таблицы - Google Play [3], Amazon [4], Barnes and Noble [5]
BlackBerry

Научись умножать без таблицы [6]



Для улучшения этой статьи желательно?:

Викифицировать статью.
Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.
Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники,подтверждающие написанное.


Категории:

Устный счёт
Арифметические действия
Навигация

Создать учётную запись
Войти
Статья
Обсуждение
Читать
Править исходный текст
Заглавная страница
Рубрикация
Указатель А — Я
Избранные статьи
Случайная статья
Текущие события
Участие

Сообщить об ошибке
Портал сообщества
Форум
Свежие правки
Новые страницы
Справка
Пожертвования
Печать/экспорт

Инструменты

В других проектах

Викиданные
На других языках

English
Esperanto
Espanol
?????
Francais
Polski
Править ссылки
Последнее изменение этой страницы: 06:46, 4 ноября 2013.
Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Подробнее см. Условия использования.
Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак некоммерческой организации Wikimedia Foundation, Inc.
Свяжитесь с нами
Политика конфиденциальности
Описание Википедии
Отказ от ответственности
Разработчики
Мобильная версия




"Искусство беглости пальцев" Карла Черни дополнили недавно выпущенным пособием - "Искусство скоростного счёта дензнаков веером"







Устный счёт

[править | править исходный текст]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии





Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского. Николай Богданов-Бельский.1895 год.

У?стный счёт — математические вычисления, осуществляемые человеком без помощи дополнительных устройств(компьютер, калькулятор, счёты и т. п.) и приспособлений (ручка, карандаш, бумага и т. п.).

Содержание [убрать]

1 Процесс устного счёта
2 Устный счёт в начальной школе
3 Тренажёры для устного счёта
4 Феноменальные счётчики
5 Соревнования по устному счёту
6 Метод Трахтенберга
7 Устный счёт в искусстве
8 Некоторые приёмы устного счёта
9 См. также
10 Примечания
11 Литература
12 Ссылки
Процесс устного счёта[править | править исходный текст]

Процесс устного счёта можно рассматривать как технологию счёта, объединяющую представления и навыки человека о числах, математические алгоритмы арифметики.

Имеются три вида технологии устного счёта, которые используют различные физические возможности человека:

счёт «на пальцах»;
аудиомоторная технология счёта;
визуальная технология счёта.
Характерной особенностью аудиомоторного устного счёта является сопровождение каждого действия и каждого числа словесной фразой типа «дважды два — четыре». Традиционная система счёта является именно аудиомоторной технологией. Недостатками аудиомоторного способа ведения расчётов являются:

отсутствие в запоминаемой фразе взаимосвязей с соседними результатами,
невозможность выделить во фразах о таблице умножения отдельно десятки и единицы произведения без повторения всей фразы;
невозможность обратить фразу вспять от ответа к множителям, что важно для выполнения деления с остатком;
медленная скорость воспроизведения словесной фразы.
Супервычислители, демонстрируя высокие скорости мышления, используют свои визуальные способности и отличную зрительную память. Люди, которые владеют скоростными вычислениями, не используют слов в процессе решения арифметического примера в уме. Они демонстрируют реальность визуальной технологии устного счёта, лишённой главного недостатка — замедленной скорости выполнения элементарных действий с числами.

Устный счёт в начальной школе[править | править исходный текст]

Выработка навыков устного счёта занимает особое место в начальной школе и является одной из главных задач обучения математике на этом этапе[1]. Именно в первые годы обучения закладываются основные приёмы устных вычислений, которые активизируют мыслительную деятельность учеников, развивают у детей память, речь, способность воспринимать на слух сказанное, повышают внимание и быстроту реакции[1].

Тренажёры для устного счёта[править | править исходный текст]


В этом разделе не хватает ссылок на источники информации.

Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 29 октября 2013.


Цифровые вертушки на телефонной матрице.

Цифровые вертушки в базовом варианте представляют собой две телефонных панели, допускающие повороты вокруг центральной оси. Цифровые вертушки являются механическими учебными пособиями, позволяющими в игровой форме изучать с детьми методы геометрического сложения и умножения однозначных десятичных чисел. Описаны в патенте РФ[2].

Конструкция цифровой вертушки. Неподвижная основа вертушки представляет собой плоскость с рисунками цифр, расставленных в формате Т-матрицы из трех строк и трех столбцов. На основу накладывается поворачивающаяся плоскость (пропеллер) на которой нарисованы стрелочки, подсказывающие ответы. Ось вращения пропеллера совпадает с центром неподвижной Т-матрицы. Единственное доступное движение — это поворот пропеллера вокруг оси[3].

Сложение.

Принцип действия цифровой вертушки заключается в следующем. Запишем сумму однозначых чисел A+B=[D;E] двумя цифрами десятков D и единиц Е. Все примеры с одинаковой величиной слагаемого +B назовём листом сложения.

Цифру единиц E примера сложения показываем стрелочкой от A к E. Эта стрелочка называется указателем единиц суммы.

Стрелочки на листе сложения образуют ломаные линии молний.

Правило единиц. Сложение A+B выполняется путём перехода по стрелочке-указателю, изображённой на листе сложения (+B), от цифры A к цифре E единиц суммы.

Пример 2+1. Потребуется лист сложения (+1). Установим фишку-метку на цифру 2 на T-матрице. Перемещаем фишку по стрелочке молнии, выходящей из точки 2. Конец указателя показывает сумму 3.

Пример 7+7. Берём лист сложения (+7). Установим фишку-метку на цифру 7 на T-матрице. Перемещаем фишку по стрелочке «шаг вверх» на 7-ой молнии, выходящей из точки A=7. Конец указателя показывает цифру единиц E=4.

Применяем правило десятков. Если на указателе единиц суммы A->E есть инверсия, то есть, A>E, тогда цифра десятков суммы D=1[4].

Умножение.

Проведём следующий эксперимент с примерами умножения на 3 (третий лист умножения 3xB=[D;E]). Представим, что мы находимся в центре большой телефонной Т-матрицы. Покажем левой рукой направление из центра нв множитель B. Отставим в сторону правую руку, составив с левой рукой прямой угол. Тогда правая рука покажет цифру единиц E примера умножения 3xB[5]. Итак, правило единиц при умножении на 3 формулируется в два слова: «единицы справа» (от радиального луча множителя B).

Правило поворота лучей (чисел) на Т-матрице можно рассматривать как мнемоническое правило, удобное для запоминания всех примеров 3-го листа умножения. Если учитель попросит подсчитать 3x7, ученик вспомнит картинку Т-матрицы с нужными лучами и прочитает по ней цифры ответа, называя числа словами. Однако при геометрических вычислениях в уме слова не нужны, так как слова появляются в сознании вычислителя после картинки, где уже указаны цифры ответа. Одновременно с картинкой, возникающей в памяти человека, число результата уже получено и осознано.

Следует обратить внимание на то, что элементы изображения в наглядной арифметике стандартизованы, они могут рассматриваться как язык визуальных образов, последовательность которых (соответствующая алгоритму) эквивалентна проведению расчётов. Возникающие в памяти картинки могут бытьдинамическими, как в кино, или же статическими, если на одной геометрической схеме показаны и исходные данные, и числа результата. Одношаговые алгоритмы предпочтительнее многошаговых.

Чтобы вспомнить нужную картинку для получения цифр ответа элементарного примера, требуется интервал времени 0,1-0,3 секунды. Заметим, что при решении элементарных примеров геометрическим способом нет никакого увеличения нагрузки на психику. По факту, геометрический счёт у тренированного вычислителя автоматически является скоростным счётом.

Компьютер «на пальцах».

Указание радиальных лучей при умножении на 3 можно выполнить ладонью правой руки. Отставим в сторону большой палец правой руки, плотно сжав остальные пальцы. Положим правую ладонь на центр Т-матрицы, направив большой палец на множитель B. Тогда остальные пальцы правой руки покажут цифру единиц E произведения 3xB=[D;E]). Итак, умножение на 3 реализуется на телефонной матрице правилом правой руки". Например, 3x2=6[6].

Аналогично: правило единиц умножения на 7 — это правило левой руки[7].

Правило единиц умножения на 9 — это шпагат из пальцев[8].

Другие геометрические правила единиц умножения можно показать на схемах, на которых имеются радиальные лучи Т-матрицы[9]. При этом умножение чётных чисел выполняется на чётном кресте цифр Т-матрицы[10]. Удачным тренажёром являются механические учебные пособия — цифровые вертушки, использующие цифровую телефонную матрицу[11].

Чтобы показать величину десятков произведения AxB, можно воспользоваться ступенчатыми моделями листов умножения, вид и особенности которых мы запоминаем так же, как рельеф местности. Высота руки над основанием (полом) показывает величину десятков. Если цифра D превосходит 5, то основание пола будет соответствовать D=5, а верхний уровень руки — 9[12].

Феноменальные счётчики[править | править исходный текст]

Основная статья: Феноменальный счётчик

Феномен особых способностей в устном счёте встречается с давних пор. Как известно, ими обладали многие учёные, в частности, Андре Ампер и Карл Гаусс. Однако, умение быстро считать было присуще и многим людям, чья профессия была далека от математики и науки в целом.

До второй половины XX века на эстраде были популярны выступления специалистов в устном счёте[13]. Иногда они устраивали показательные соревнования между собой, проводившиеся в том числе и в стенах уважаемых учебных заведений, включая, например, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова[13].

Среди известных российских «супер счётчиков»:

Арон Чиквашвили — «чудо-счётчик»[14][15][16][17]
Арраго[13]
Давид Гольдштейн[13]
Игорь Шелушков[14]
Горный (Яшков) Юрий Гаврилович[18]
А. В. Некрасов — «человек-компьютер»[19][20][21][22][23]
Владимир Кутюков — «человек-календарь»[24][25][26][27][28]
Среди зарубежных:

Борислав Гаджански[14]
Вильям Клайн[14]
Жак Иноди (итал.)русск.[14]
Луи Флери[14]
Мадемуазель Осака[14]
Морис Дагбер[14]
Томас Фулер[14]
Урания Диамонди[14]
Шакунтала Дэви[14]
Юсниер Виера — кубино-американский математик, феноменальный счётчик, мировой рекордсмен в области устного календарного исчисления[29][30].
Хотя некоторые специалисты уверяли, что дело во врождённых способностях[31], другие аргументированно доказывали обратное: «дело не только и не столько в каких-то исключительных, „феноменальных“ способностях, а в знании некоторых математических законов, позволяющих быстро производить вычисления» и охотно раскрывали эти законы[13].

Истина, как обычно, оказалась на некоей «золотой середине» сочетания природных способностей и грамотного, трудолюбивого их пробуждения, взращивания и использования. Те, кто, следуя Трофиму Лысенко, уповают исключительно на волю и напористость, со всеми уже хорошо известными способами и приёмами устного счёта обычно при всех стараниях не поднимаются выше очень и очень средних достижений. Более того, настойчивые попытки «хорошенько нагрузить» мозг такими занятиями, как устный счёт, шахматы вслепую и т. п. легко могут привести к перенапряжению и заметному падению умственной работоспособности, памяти и самочувствия (а в наиболее тяжёлых случаях — и к шизофрении). С другой стороны, и одарённые люди при беспорядочном использовании своих талантов в такой области, как устный счёт, быстро «перегорают» и перестают быть в состоянии длительно и устойчиво показывать яркие достижения.

Соревнования по устному счёту[править | править исходный текст]

В настоящее время в прибалтийских странах и Белоруссии набирает популярность соревнование по устному счёту среди школьников под названием Пранглимине(эст. Pranglimine), проводящиеся в Миксике (Эстония)[32][33].

Начиная с 2004 года, один раз в два года проводится Мировой чемпионат по вычислениям в уме (англ.)[34], на который собираются лучшие из ныне живущих феноменальных счётчиков планеты. Соревнования проводятся по решению таких задач, как сложение десяти 10-значных чисел, умножение двух 8-значных чисел, расчёт заданной даты по календарю с 1600 по 2100 годы, корень квадратный из 6-значного числа. Также определяется победитель в категории «Лучший универсальный феноменальный счётчик» по итогам решения шести неизвестных «задач с сюрпризом».

Метод Трахтенберга[править | править исходный текст]

Основная статья: Метод Трахтенберга

Среди практикующихся в устном счёте пользуется популярностью книга «Системы быстрого счёта» цюрихского профессора математики Якова Трахтенберга[35]. История её создания необычна[14]. В 1941 году немцы бросили будущего автора в концлагерь. Чтобы сохранить ясность ума и выжить в этих условиях, учёный стал разрабатывать систему ускоренного счёта. За четыре года ему удалось создать стройную систему для взрослых и детей, которую впоследствии он изложил в книге. После войны учёный создал и возглавил Цюрихский математический институт[14].

Устный счёт в искусстве[править | править исходный текст]

В России хорошо известна картина русского художника Николая Богданова-Бельского «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского», написанная в 1895 году. Приведённая на доске задача, над которой размышляют ученики, требует достаточно высоких навыков устного счёта и смекалки. Вот её условие:



Феномен быстрого счёта больного аутизмом раскрывается в фильме «Человек дождя» Барри Левинсона и в фильме «Пи» Даррена Аронофски.

Некоторые приёмы устного счёта[править | править исходный текст]

Для умножения числа на однозначный множитель (например, 34*9) устно, необходимо выполнять действия, начиная со старшего разряда, последовательно складывая результаты (30*9=270, 4*9=36, 270+36=306)[36].

Для эффективного устного счёта полезно знать таблицу умножения до 19*9. В этом случае умножение 147*8 выполняется в уме так: 147*8=140*8+7*8= 1120 + 56= 1176[36]. Однако, не зная таблицу умножения до 19*9, на практике удобнее вычислять все подобные примеры методом приведения множителя к базовому числу: 147*8=(150-3)*8=150*8-3*8=1200-24=1176, причем 150*8=(150*2)*4=300*4=1200.

Если одно из умножаемых раскладывается на однозначные множители, действие удобно выполнять, последовательно перемножая на эти множители, например, 225*6=225*2*3=450*3=1350[36]. Также, проще может оказаться 225*6=(200+25)*6=200*6+25*6=1200+150=1350.

Несколько способов устного счета:

Умножение на 10. Приписать справа нуль: 48*10 = 480.
Умножение на 9. Для того чтобы умножить число на 9 надо к множимому приписать 0 и от получаемого числа отнять множимое, например

45*9=450-45=405.
Умножать на 5 удобнее так: сначала умножить на 10, а потом разделить на 2
Умножение на 11 двузначного числа [N; A]. Раздвинуть цифры N и A, вписать посередине сумму (N+A).
например, 43*11 = [4; (4+3); 3] = [4; 7; 3] = 473.

При умножении на 1,5 умножаемое нужно разделить пополам и прибавить к умножаемому, например 48*1,5= 48/2+48=72. Можно применить при умножении на 15 48*1,5*10 = 720.
Возведение числа вида [N;5] (оканчивающееся пятеркой) в квадрат производится по схеме: умножаем N на N+1, записываем в сотни, и приписываем 25 справа. Формула: [N; 5] x [N; 5] = [ (Nx(N+1)) ; 2; 5 ]. Доказательство (10N+5) x (10N+5) = (N*(N+1)) x 100 + 25. Например, 65? = 6*7 и приписываем справа 25, получим 4225 или 95? = 9025 (сотни 9*10 и приписать 25 справа).

Пальцевый счёт
Бином
Вычислительная математика
Таблица умножения

**

URL: http://hijos.ru/2011/02/09/bystroe-umnozhenie-na-11-i-12-sistema-bystrogo-scheta-yakova-traxtenberga/

Быстрое умножение на 11 и 12 (система быстрого счета Якова Трахтенберга)
9 Февраль 2011, 0:07
Узнала об этом методе здесь.

Яков Трахтенберг был еврейско-русским математиком, который, находясь в заключении в фашистском концлагере во время Второй мировой войны,

разработал систему быстрого счета.

Без сомнения, занимался он этим, чтобы сохранить рассудок.

Система Трахтенберга позволяет умножать большие числа на небольшие, хотя она учит также и некоторым другим методам.

Надо сказать, что позже Трахтенберг сбежал из концлагеря в Швейцарию, а потом, в 1950 году, основал в Цюрихе Математический институт, в котором преподавал свой метод.

Имеется несколько изданий книги о системе Трахтенберга, на рисунке приведена обложка одного из них, на английском языке.

А вот русское издание 1967 года: Катлер Э., Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу.

Давайте рассмотрим, как Трахтенберг предлагает умножать числа

на 11 и на 12.

Что касается умножения на 11 двухзначных чисел, то способ этот мне был известен уже довольно давно,

кстати, он приводится в книге И.Я. Депмана , Н.Я. Виленкина

“За страницами учебника математики”.

Записываем цифры результата справа налево.
Первая цифра та же, что и у исходного числа.

Далее добавляем к цифре ее соседа справа.

Если сумма получается больше 10, то запоминаем число десятков, которое добавим к следующей сумме.

Примеры. Умножим 1,4326 на 11:

(1+0)(1+4),(4+3)(3+2)(2+6)6=15,7586.

Умножим 87,256 на 11:

(8+1)(8+7-10)(7+2),(2+5+1)(5+6-10)6=959,816.

Напишу подробнее, поскольку в этом примере, в отличие от предыдущего, приходится запоминать цифры. Итак, справа записываем самую правую цифру числа 87,256 – это 6. Двигаемся левее, туда мы должны записать 5+6=11 – тем самым, запоминаем 1, а 1записываем. Следующая цифра – это 2+5 с добавлением той единички, которую запомнили, итого 8. Еще шаг влево: 7+2, записываем 9. Следующая цифра 8+7=15 – следовательно, записываем 5, а 1 запоминаем. Еще левее получаем 0+8+1=9. Десятичную запятую ставим, отсчитав 3 цифры справа. Вот и все. Достаточно легко. И получается метод этот довольно легко из того, что a\cdot11=a\cdot10+a.

Умножение на 12 производится примерно так же. Каждую цифру числа удваиваем и прибавляем к результату соседа исходной цифры справа. Доказательство метода такое же, как и для умножения на 11.

Примеры. Умножим 346 на 12.

Начнем с самой правой цифры – это 6. Удвоим 6 и добавим соседа (его нет в данном случае). Получаем 12. Запишем 2 и запомним 1.

Перейдем влево к следующей цифре 4. Удвоим 4, получим 8, добавим соседа, 6, получим 14, прибавим 1, которую запоминали, получим 15. Запишем 5 и запомним 1.

Перейдем влево к следующей цифре, 3. Удвоим 3, получим 6. Добавим соседа, 4 и получим 10. Прибавим 1, которую запоминали, получим 11. Запишем 1 и запомним 1.

Перейдем влево к несуществующей цифре – нулю. Удвоим его, получим 0 и добавим соседа, 3, что даст нам 3. Наконец, добавим 1, которую запоминали, получим 4. Запишем 4.

Ответ: 4152.

Еще один пример.

234567\cdot12=(0\cdot2+2)(2\cdot2+3+1)(2\cdot3+4+1-
-10)(2\cdot4+5+1-10)(2\cdot5+6+2-10)(2\cdot6+7+1-20)(4)=2814804.

Довольно быстро получается умножать числа, если немного потренироваться!

Вернуться к началу
Посмотреть профиль Отправить личное сообщение
Показать сообщения:   
Начать новую тему   Ответить на тему    Список форумов 2-й Храм-на Скале"Aml Pages"- редактора -> Математика-Физика Часовой пояс: GMT + 1
Страница 1 из 1

 
Перейти:  
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете голосовать в опросах
Жизнь должна быть разумней


Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Вы можете бесплатно создать форум на MyBB2.ru, RSS